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Principio de Equivalencia entre Masa y Energía

En un breve trabajo (septiembre de 1905) intitulado “¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético?”, Einstein concluye que si un cuerpo irradia luz de energía L, la masa del cuerpo debe disminuir en L/c2, proponiendo una forma de verificación utilizando un elemento radiactivo (Radio). Esta publicación científica condujo a la más célebre fórmula en la historia de la ciencia, conocida como Principio de equivalencia entre masa y energía.

E = m c2 

Esta relación es considerada un Principio debido a que no tiene una demostración general y se comprobó que es válida universalmente para toda forma de energía. La demostración vista en el apartado anterior solamente vincula la variación de la energía cinética con el incremento de masa de una partícula puntual, equivalente al Teorema de las fuerzas vivas de la mecánica de Newton.

La energía total relativista (E) es una propiedad de todo sistema físico, masivo o no masivo, cuyo valor aumenta (disminuye) cuando se le entrega (quita) energía por cualquier proceso, y toma el valor cero sólo cuando el sistema se aniquila (desaparece). En consecuencia, para un determinado sistema de referencia inercial, su valor depende del estado del sistema físico y sólo será constante si el sistema físico está aislado. Resulta evidente, además, que la magnitud Energía total es relativa al sistema de referencia. 

Calentar un sistema macroscópico, darle cuerda a un reloj, aumentar la velocidad de una partícula, o la absorción de radiación por parte de un gas, son distintos ejemplos de procesos que provocan un incremento de la inercia (masa) del sistema que se trate, que cumple con:

 

Siendo  la energía entregada al sistema en el proceso. La magnitud que mide la inercia es la masa relativista.
Por supuesto que si el sistema pierde energía por algún proceso cualquiera (radiación, enfriamiento, etc.), el sistema disminuye su masa de acuerdo con la misma relación. 

Para una partícula puntual, que asumimos sin estructura, el único proceso de transferencia de energía que se considera posible es el trabajo mecánico (fuerza aplicada), producto de una interacción campo-partícula, cumpliéndose la relación dE=dW=F.ds=v.dp. En este caso se considera que toda la energía entregada se transforma en cinética (ver capítulo anterior), variando la masa relativista sin modificar la masa propia. Esta suposición es la única razón por la cual la masa propia resulta constante.

Corresponde aclarar que las partículas reales, incluso las fundamentales, podrían no ser puntuales (y tener estructura). En este caso sólo podemos asegurar que la masa propia permanece constante sólo si la partícula está libre de interacciones externas.
Por otro lado, si una partícula real está sometida a una interacción tiene fuerzas aplicadas, aspecto que Poincaré analizó para el caso del electrón (tensiones de Poincaré), que muy probablemente modifiquen su morfología y configuración espacial. En consecuencia, en el marco de la Teoría Especial de Relatividad, no es posible asegurar la constancia de la masa propia de una partícula acelerada.

Este Principio establece nuevos conceptos que deben destacarse:

  1. La energía relativista E representa la energía total que se podría obtener (en forma de radiación) si lográramos convertir toda la masa relativista en energía, tal como sucede en el fenómeno conocido como "aniquilación de pares". Por primera vez se dispone de un cálculo de energía total válido para cualquier sistema físico, cuyo valor tiene significado físico. Se hace notar que las magnitudes tales como Energía interna (Termodinámica), Energía potencial (Campos conservativos), Energía mecánica (Mecánica clásica), están definidas a menos de una constante arbitraria y su valor numérico no tiene significado físico.
  2. La energía total de una partícula en reposo, “almacenada” en su masa propia, está dada por E=m0 c2.
    Los mecanismos de conversión de masa en energía radiante y viceversa, fueron estudiados durante la primera mitad del siglo XX, principalmente con el formalismo de la Teoría Cuántica de Campos (iniciada en la década del 20), actualmente en desarrollo.
  3. El Principio permite dar una definición de masa (relativista) compatible con partículas no masivas, es decir sin masa propia (fotones), generando una coherencia lógica, general y sin limitaciones, con la definición de cantidad de movimiento propuesta (p=mv).
    Se define como masa de cualquier sistema físico, sea puntual o extenso, masivo o no masivo (masa propia nula), al escalar obtenido del cociente entre la Energía total E del sistema y el cuadrado de la velocidad de la luz en el vacío.
    Su expresión matemática es:     
                                            m= E/c 
    En consecuencia, podemos dar una definición precisa para la cantidad de movimiento, válida para partículas masivas y no masivas:  
                                            p = E/c2 v, siendo E la energía total
    En el apartado Temas Especiales se tratará la aplicación de este concepto en el artículo “Curvatura de la luz en Relatividad Especial”.
  4. Los Principios de conservación de la masa y de la energía, que se formularon de manera independiente para sistemas aislados, ahora se relacionan en un único Principio pues masa y energía están relacionadas por el Principio de Equivalencia entre masa y energía.  

En consecuencia, el Principio de Equivalencia podría (y debería) ser formulado de la siguiente manera:

El contenido total de energía de un ente físico cualquiera es igual a su masa relativista multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz

Nota:
Muchos autores, especialmente los dedicados a la física de partículas, proponen su validez solamente para cuerpos en reposo, con argumentos poco convincentes que resultan ser los mismos por los cuales tampoco aceptan la masa relativista. Lo más inexplicable es que luego usan los conceptos que rechazan.
En su trabajo original de tres carillas, Einstein analiza la emisión de radiación y la variación de la masa en la forma usual del formalismo de la teoría, es decir desde el punto de vista de dos observadores inerciales, uno en reposo respecto del cuerpo y el otro en movimiento con velocidad constante.
Proponer que esa demostración es sólo válida para cuerpos en reposo es falso, sin criterio y ridículo.

Creación y Aniquilación de pares

Este singular fenómeno no se conocía en el inicio de la Teoría de Relatividad y su descubrimiento se debió justamente a dicha teoría. En 1928 el ingeniero electricista (luego matemático y posteriormente doctor en física) Paul Dirac (1902-1984) predijo la existencia de antimateria al relacionar la mecánica cuántica con la relatividad.
El positrón (e+), que es la antipartícula del electrón (e-) y posee sus mismas propiedades salvo la carga, que es positiva, fue observado por primera vez por Anderson en 1932.

La creación de pares es el proceso por el cual una partícula (masiva o no), de energía suficiente y bajo ciertas condiciones, crea dos o más partículas diferentes.
Este fenómeno es típico en los aceleradores de partículas, en las reacciones nucleares y en la radiación cósmica.

Nos interesa tratar el caso de creación de pares obtenidos de fotones de alta energía.
La cantidad de movimiento de un fotón es distinta de cero cualquiera sea el sistema de referencia que se elija, mientras que para dos partículas masivas, en el particular sistema de su centro de masa, resulta nula.
En consecuencia, teniendo en cuenta que en ausencia de fuerzas exteriores la conservación de la cantidad de movimiento debe ser válida en todos los sistemas inerciales, la creación de pares a partir de un fotón aislado no es viable. Debe recordarse que en este marco teórico la velocidad relativa entre sistemas inerciales (V) siempre es menor que c.

Para fotones, la ocurrencia del fenómeno indefectiblemente requiere que el fotón interactúe con algún otro ente físico real, dado que esta condición es consistente con el Principio de conservación de la cantidad de movimiento. 

A modo de ejemplo vamos a describir la fenomenología de un caso característico, en el sistema de referencia en el que el agente perturbador esté en reposo luego de la interacción:

Si un fotón de alta energía (gamma) es perturbado (se desconoce cómo es el proceso disparador del fenómeno) por un núcleo, el fotón se aniquila y se crean dos o más partículas masivas. El caso más frecuente es la creación de un electrón y un positrón.
La energía de un electrón (positrón) en reposo es E0 = m0 c2 = 0.511 Mev. En consecuencia, para la creación de un par electrón-positrón la energía del fotón debe ser mayor que 1.022 Mev.

Si el fotón es más energético (Efotón > 1.022 Mev) las partículas creadas tendrán también energía cinética (en general idéntica), cumpliéndose las leyes de conservación de la energía y de la cantidad de movimiento. Cuanto mayor sea la energía del fotón madre, mayor será la energía cinética de las partículas creadas.

Por conservación del momento angular el fotón gamma inicial, el electrón y el positrón, tienen sus velocidades en un mismo plano. Suponiendo que el plano es el (x,y) y que la dirección inicial del fotón es coincidente con el eje x, tenemos:

                  

Este fenómeno, que es tratado en la Teoría Cuántica de Campos (QFT), ha tenido diferentes interpretaciones (Fock, Feynman, Stueckelberg), particularmente en el tratamiento cuántico. En todas ellas se cumplen las relaciones relativistas antes y después del proceso, pero no necesariamente durante el mismo, lo cual puede ser considerado una limitación del modelo teórico utilizado (QFT).
En las relaciones anteriores no se ha tenido en cuenta la energía de enlace entre electrón y positrón que se atraen, pues se considera que es despreciable frente a la energía del fotón madre aunque, como veremos, esto es seriamente discutible. 

Analicemos algunas dificultades del modelo teórico desde el punto de vista relativista. Por el Principio de conservación de la carga, que postula la conservación de la carga total del universo, las dos partículas deben crearse simultáneamente y ello sólo es posible si los eventos ocurren en el mismo punto (ver el capítulo de simultaneidad). Si la aniquilación del fotón y la creación del par ocurren en un mismo punto, la energía necesaria para separarlas se hace infinita por la atracción eléctrica entre electrón y positrón, y no se cumple la conservación de la energía.
En el tratamiento cuántico Feynman utilizó el Principio de Incerteza (no se conserva la energía durante el tiempo del proceso de creación ni está definida la posición de cada partícula), y la postulación de fotones "virtuales" con velocidades mayores que c para no violar el principio de causalidad, con lo cual el modelo se ajustó muy bien a los resultados experimentales.
No obstante y dadas las transgresiones relativistas, considero que no sabemos mucho sobre el proceso real. 

Se ha confirmado experimentalmente que una vez creado un positrón su condición más probable es que se vincule con un electrón formando un sistema metaestable excitado, llamado “positronio”, con niveles de energía, y cuya vida media es del orden de 10-7seg. Aparentemente no tiene un nivel fundamental estable.

Durante este lapso el positronio (en reposo) decae emitiendo fotones poco energéticos (como cualquier átomo excitado), y finalmente se aniquila en dos fotones gamma idénticos de 0.511 Mev de energía, emitidos en oposición (1800), requisito necesario para la conservación de la cantidad de movimiento.

Nótese que a pesar de que la energía del fotón inicial es mayor que la necesaria para crear el par electrón-positrón, luego de su aniquilación obtenemos dos fotones gamma idénticos y de energía exactamente igual a la energía en reposo de cada partícula. El exceso de energía del fotón inicial se consumió luego de la creación del positronio en estado excitado, por decaimiento del mismo con emisión de fotones de baja energía.

Sin embargo, hay un caso muy importante en el que el par electrón-positrón no forma el positronio. Si las partículas chocan con velocidades diferentes, ambas cercanas a las de la luz, como puede suceder en experimentos en aceleradores (CERN), éstas se aniquilarán “al vuelo” sin formar un estado metaestable previo. En ese caso, los dos fotones gamma resultantes de la aniquilación serán idénticos, podrán formar ángulos distintos de 180º en sus trayectorias de salida y serán más energéticos (Ef > 0.511 Mev). Este hecho experimental muestra la conversión total de la masa relativista en radiación.
En este caso para cada fotón gamma emitido se cumple:

 

Los superíndices e- y e+ son usados para evitar que se confunda la masa relativista con la masa propia.

Relación entre Energía y Cantidad de movimiento

La equivalencia entre masa y energía puede ser expresada en relación a la cantidad de movimiento.

Esta expresión corresponde a un invariante importante que trataremos a continuación.
La masa en reposo de una partícula libre debe ser la misma en cualquier sistema de referencia, pues de lo contrario los sistemas inerciales no serían equivalentes ya que podrían ser distinguibles. Lo mismo sucede con la longitud propia de un objeto o el tiempo propio de un fenómeno.

En consecuencia, para dos observadores inerciales tendremos:

 

Este invariante es similar al del “Intervalo” tratado en el apartado de Transformaciones de Lorentz.

Nota:
Su demostración en el espacio de Minkowski es elegante y simple, basada en que la cantidad de movimiento se transforma como las coordenadas (x, y, z) y la energía como el tiempo.

La masa en reposo

En el ítem anterior hemos tratado el caso de la constancia de la masa en reposo para una partícula libre. Veremos que esto no es general y que la masa en reposo puede ser modificada bajo ciertas condiciones. Previamente hagamos algunas aclaraciones para evitar que los amantes de la bella formulación geométrica de la Relatividad se suiciden en masa. Los invariantes obtenidos en ese modelo son rigurosos matemáticamente, tal como sucede con la masa propia (m0), y ello es consecuencia de cómo se transforman las "variables" relacionadas (E,p). La masa propia resulta entonces un invariante que es constante simplemente porque hemos establecido que, para una partícula puntual, la única modificación posible cuando le entregamos energía es que solo cambie su cantidad de movimiento.
En consecuencia, aunque poco probable, si encontráramos algún mecanismo de transferencia de energía que no modificara su velocidad, sería inevitable que cambie la masa propia de una partícula puntual.

En primer lugar digamos que existen otros procesos (no aplicables a partículas puntuales), además del trabajo mecánico ya visto, capaces de transferir energía (calentamiento, deformación, fricción, absorción, etc). Por ejemplo, si el cuerpo material es un sistema macroscópico en reposo, podemos entregarle o quitarle energía (Q) por intercambio de calor.
Dado que este mecanismo puede ser hecho sin necesidad de modificar su velocidad, debemos concluir que tiene que modificarse su masa en reposo, que en el caso en que se le entregue energía será:

 

Si el sistema pierde energía bastará con cambiar el signo en la relación anterior y la masa propia final será menor.

Para un sistema macroscópico, la masa en reposo del mismo es función de la temperatura.

En general, si a un sistema físico, sea puntual o extenso, podemos entregarle o quitarle energía sin modificar su velocidad, el sistema cambiará su energía total, su masa relativista y su masa propia, de acuerdo con el Principio de Equivalencia entre masa y energía.

En la carpeta Temas Especiales se agregarán dos trabajos: “El Corrimiento al Rojo en Relatividad Especial”, y “El Efecto Mössbauer en Relatividad Especial”, vinculados con la variación de la masa de un sistema. 

De acuerdo al Principio de equivalencia entre masa y energía, cualquier sistema físico formado por componentes que interactúan entre sí debe tener una masa diferente a la suma de las masas de sus componentes en estado libre (no vinculado).

Analicemos el caso más simple posible, que consiste en un sistema formado por dos partículas que se atraen, y supongamos que inicialmente están juntas y en reposo. Para separarlas debemos realizar un trabajo mínimo (W), cuyo valor representa la energía que se debe entregar al sistema para desvincular las partículas y que ellas queden en reposo. Si se le entrega más energía que la necesaria (W), las partículas libres (no vinculadas) tendrán energía cinética. 
En consecuencia, el sistema con las partículas “pegadas” posee menos energía que el mismo sistema de dos partículas cuando ellas no están vinculadas. En general, si el sistema y las partículas (idénticas) están en reposo, en su condición de mínima energía (pegadas), su energía será:

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Siendo m0 la masa propia de cada partícula y W el trabajo necesario para desvincularlas (separarlas).
Es evidente que la masa del sistema es menor que la suma de las masas de sus componentes ( ).
Cuando el sistema no está vinculado (partículas libres en reposo), su masa será 2m0.

Queda planteado mostrar que si las partículas del sistema se repelen, la masa del mismo será mayor cuando estén “pegados” sus componentes.

Ahora veamos el caso del átomo de Hidrógeno, formado por un electrón y un protón.
La energía de ionización es 13.5984 eV, que representa la energía mínima que debo suministrarle al átomo para desvincular su electrón. Esta energía es muy pequeña para que pueda detectarse la diferencia de masa entre el átomo en estado fundamental y la suma de las masas de sus dos componentes.

De acuerdo a lo visto, la masa del átomo de Hidrógeno en estado fundamental debe ser menor que la suma de las masas del protón y el electrón. Hagamos las cuentas:

  • Masa del protón: 1.6726 × 10-27 kg
  • Masa del electrón: 9.11 x 10-31 kg   
  • Masa del electrón + Masa del protón: 1.673511 × 10-27 kg
  • Masa del H (estado fundamental): mp+me – 13.5984 eV/c2 = 1.673510976 × 10-27 kg
  • Diferencia de masa: 2.4 x 10-35 kg

Nótese que la diferencia de masa es 100 millones de veces menor que la masa del sistema.
Considerando que todos los átomos de la Tabla periódica tienen energías de vínculo de electrones del mismo orden que la del Hidrógeno, la diferencia de masa por el enlace con sus electrones no será significativa.

Sin embargo, en el átomo hay energías de vínculo muchísimo más grandes, que son las que ligan a las partículas del núcleo atómico (nucleones), relacionadas con las fuerzas nucleares, que trataremos a continuación.

Defecto de masa

Se denomina defecto de masa a la diferencia de masa de un núcleo atómico, medida experimentalmente (masa del sistema), y la que corresponde a su número atómico (suma de las masas de sus componentes). Esto es exactamente lo que acabamos de analizar en el ítem anterior pero, en este caso, con fuerzas de ligadura muchísimo más grandes.

Veamos un caso real, el Deuterio (isótopo del Hidrógeno) ionizado, cuyo núcleo está formado por un protón y un neutrón. Los valores de las masas correspondientes son:

  • Masa protón: 1.0073 u
  • Masa neutrón: 1.0087 u
  • Masa Deuterio: 2.0136 u

Defecto de masa: (mp+mn) - mD = 0.0024 u 

u = uma (unidad de masa atómica) = 1.66053886x10-27 kg
La energía correspondiente a un uma es de 931.5 Mev.
La energía de ligadura del Deuterio es 2.23 MeV.

En este caso la diferencia de masa es 1000 veces menor que la masa del sistema.
Si se compara con el caso anterior (átomo de Hidrógeno) se puede obtener una idea cualitativa de la magnitud de las fuerzas nucleares respecto de las electromagnéticas.

No obstante, el Deuterio es un núcleo poco ligado si se lo compara con otros.
Las mediciones de defecto de masa de los distintos átomos tienen mucha importancia dentro de la Física Nuclear y en el estudio de las reacciones nucleares, como así también en la Astrofísica, en los modelos sobre la evolución de las estrellas.

Este último ítem (defecto de masa) puede resultar interesante o no, pues se trata simplemente de información sobre datos reales medidos. Sin embargo, destaco que para los fines de este curso, lo realmente importante es que verifican el Principio de Equivalencia y la variación de la masa propia del sistema.

Relatividad de la energía

Es evidente que la energía de un sistema físico es una magnitud relativa al sistema de referencia. Tomemos, por ejemplo, la energía total de una partícula libre, de masa propia m0 y velocidad constante v, cuya expresión está dada por

 

Para dos observadores inerciales en movimiento relativo la única magnitud que tiene distinto valor en la expresión anterior es la velocidad de la partícula.

Nota: En este marco teórico toda magnitud propia de un cuerpo en movimiento uniforme es invariante. De lo contrario los sistemas inerciales serían distinguibles, invalidando el Principio de Relatividad.
No debe interpretarse que la masa propia no pueda variar ante determinados procesos, sino que ante Transformaciones de Lorentz la masa propia es la misma para todos los observadores inerciales.

Hallemos la ley de transformación de la energía para dos sistemas inerciales, usando el teorema de adición de velocidades.

 

Operando el radicando del denominador en el segundo miembro se obtiene la siguiente igualdad

 

Reemplazando en la expresión de la energía obtenemos

 

Esta expresión es válida sólo si la velocidad relativa (V) entre sistemas inerciales está según el eje x. En el caso general la ley de transformación es:

 

La transformación inversa la obtenemos reemplazando V por -V, quedando:



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