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Transformaciones de Lorentz

Los Postulados de Einstein no son consistentes con las Transformaciones de Galileo, ya que la constancia de la velocidad de la luz para todos los observadores inerciales resulta incompatible con el Teorema de adición de velocidades de Galileo.

Considerando que la medición de velocidades implica medir espacio recorrido y tiempo empleado, no debemos anticipar o prejuzgar características espaciales y/o temporales para las transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales.

Resulta interesante remarcar que el primer desarrollo lógico como continuación inmediata de la Teoría cuyos Postulados acabamos de ver, sería encontrar, si es posible, las Transformaciones que satisfacen ese requerimiento. Debe tenerse muy presente que las transformaciones que vinculan a los sistemas inerciales serán la base fundamental y soporte de todas las leyes físicas, dado que las leyes deberán conservar su forma ante esas transformaciones.

Además, dado que las transformaciones buscadas son relaciones funcionales entre las coordenadas (espacio y tiempo) de dos sistemas inerciales cualesquiera, veremos que su análisis e interpretación permitirán obtener un mayor conocimiento sobre estos dos conceptos fundamentales.
Consecuentemente, corresponde establecer las hipótesis necesarias para encontrar tales transformaciones para dos sistemas inerciales en movimiento relativo, y que posean la propiedad de que en los sistemas el valor de la velocidad de la luz en el vacío sea el mismo.

Existen varias deducciones distintas de estas transformaciones de coordenadas en la bibliografía específica, con distintos grados de dificultad y enfoque. De acuerdo a mi larga experiencia docente, cualquiera de estas deducciones resulta muy complicada al alumno tipo. 
Al respecto, he desarrollado una demostración que, en mi opinión y por razones didácticas, resulta ser la más simple sin perder rigor o generalidad, que veremos a continuación.

Hipótesis (fundamentadas por experimentos)
En todo sistema inercial se cumple:
          1. El espacio es isótropo y homogéneo
          2. El tiempo es uniforme
          3. La velocidad de la luz en el vacío es absoluta y vale 300000 Km/seg (Postulado de Einstein)

Las primeras dos hipótesis garantizan que el tamaño de un objeto ideal rígido en reposo sea el mismo en cualquier posición y orientación del espacio, y que la duración de un fenómeno bajo idénticas condiciones sea independiente del momento y lugar en que ocurre.

Estas hipótesis, que deberían ser elevadas a la categoría de postulados universales, están fundamentadas en 400 años de experiencias. Su importancia se hace notoria con los siguientes razonamientos: 1) si un objeto conserva su tamaño ello permite definir una unidad de longitud; 2) si la duración de un determinado fenómeno causal no depende del instante inicial del mismo, podremos definir una unidad de tiempo.
Estas dos propiedades del espacio y el tiempo son las que definen la "métrica" del sistema de referencia.

Ello nos limita a que las transformaciones de coordenadas (x,y,z,t) entre dos sistemas inerciales deben ser lineales, pues de lo contrario se perdería la homogeneidad y/o la uniformidad.
Aclaremos un poco más esta última aseveración.
Las transformaciones de coordenadas que permiten pasar de un sistema de referencia (x,y,z,t) a otro (x’,y’,z’,t’) están dadas por 4 relaciones funcionales, que en el caso más general pueden expresarse por:

x’=f1(x,y,z,t)     y’=f2(x,y,z,t)     z’=f3(x,y,z,t)      t’=f4(x,y,z,t)

Tratemos de analizar cómo deben ser estas funciones para que el espacio y el tiempo posean los mismos atributos en ambos sistemas.
Supongamos que la función x’=f1(x,y,z,t) es la siguiente relación cuadrática: x’=a.x2, siendo a una constante.

En este caso un objeto rígido de longitud L=x2-x1 en el sistema O, cuyo tamaño es el mismo en cualquier posición sobre el eje x, en el sistema O’ tendrá una longitud dada por L’=(x’2-x’1)= a(x22 - x12), cuyo valor depende de la posición en que esté ubicado sobre el eje x. Nótese que si desplazo el objeto en la dirección del eje x’ su longitud cambia. Es decir que en el sistema primado el espacio no es homogéneo.

El mismo análisis puede hacerse con las otras coordenadas, llegando a la conclusión de que la única manera de mantener similares propiedades del espacio y el tiempo en ambos sistemas es que las transformaciones sean lineales, cuya expresión más general para la coordenada x' es:

x’= a1 x+a2 y+a3 z+a4 t+a5

Nota: Muchas de estas constantes podrán anularse con la elección particular de ambos sistemas. Por ejemplo, si establecemos que en el instante t=t'=0 los sistemas coinciden, los términos independientes (a5) se anularán.

Sean dos sistemas de referencia inerciales (O y O’), inicialmente coincidentes. Llamaremos V (en mayúscula) a la velocidad relativa entre ellos. Cuando exista un objeto en movimiento, será v (en minúscula) su velocidad medida en el sistema O, y v’ su velocidad respecto de O’.
Las coordenadas (x,y,z,t) se refieren al sistema de O y las coordenadas (x’,y’,z’,t’) son las correspondientes al sistema O’.

En general, todas las variables no primadas corresponderán al sistema O y las primadas al O’.

Supongamos que en el instante inicial ambos sistemas coinciden. Para una mejor visualización los esquemas tendrán al sistema O’ debajo del O.
Por simplicidad supondremos arbitrariamente que el O está en reposo y el O’ con velocidad constante V en la dirección del eje x, como muestra la figura.

Esta selección de movimiento relativo según el eje x hace que las coordenadas (y’; z’) sean idénticas a las (y; z), de acuerdo con las hipótesis establecidas.
Las transformaciones lineales de coordenadas para relacionar ambos sistemas son de la forma:

2n

Mediante un cálculo simple podemos hallar la relación de velocidades (de un objeto) entre sistemas, obteniendo:

3n

Siendo 4n  constantes arbitrarias que determinaremos mediante cuatro (4) experimentos pensados.

Experimento 1 - Objeto en reposo en O

Para un observador en O’ este objeto se mueve con velocidad v´=-V, con movimiento rectilíneo uniforme según el eje x’.

Experimento 2 - Objeto con vx = V en O

Para un observador fijo en O’ este objeto está en reposo.


Experimento 3 – Un haz de luz se propaga según el eje x en O

En ambos sistemas la velocidad medida resulta c.

Experimento 4 – Un haz de luz se propaga según el eje y en O

En ambos sistemas la velocidad medida resulta c.

Halladas las constantes quedan determinadas las transformaciones de coordenadas que vinculan ambos sistemas, resultando ser las Transformaciones de Lorentz, pero con diferente significado, ya que son las transformaciones lineales que relacionan la métrica de dos sistemas de referencia inerciales.

Tienen la propiedad de que la velocidad de la luz resulta la misma (c) en todos los sistemas inerciales. Esta deducción tiene la ventaja que utiliza como argumento principal la constancia de la velocidad de la luz y el Teorema de Pitágoras.

Las mismas nos permiten pasar del sistema O al O’. Si quisiéramos encontrar las transformaciones que permiten pasar del O’ al O bastaría con despejar las variables (x, y, z, t) en función de (x’, y’, z’, t’).

 
Transformaciones de Lorentz

9n


Estas transformaciones no son generales pues corresponden al caso particular en que la velocidad relativa entre sistemas es colineal con el eje x. Algunos temas particulares requieren que la dirección de la velocidad entre sistemas de referencia inerciales sea cualquiera. En este caso las Transformaciones de Lorentz generales son más complicadas, resultando una expresión simple si se usan las coordenadas tangencial y transversal a la velocidad V, respectivamente (Pauli, “Theory of Relativity”, pág. 10):

 

Importante:
Nótese que si la velocidad relativa entre sistemas es mayor que c se obtienen valores imaginarios de espacio y tiempo, perdiendo su significado físico. Asimismo, hacer la velocidad del sistema igual a c genera una indeterminación pues el denominador se anula en las Transformaciones de x y t.
En consecuencia, asignar a un sistema de referencia inercial una velocidad relativa V mayor o igual a la velocidad de la luz carece de significado y no puede ser tratado en el marco de esta Teoría.

Se podría pensar erróneamente que esto último conforma una limitación de validez de la Teoría de Relatividad Especial. Si se analiza cuidadosamente se concluye que proponer una velocidad invariante tiene como consecuencia que dicha velocidad (c) es una cota máxima para un espacio-tiempo real, pues fija el dominio del parámetro V tal que -c < V < c. En consecuencia, proposiciones tales como fijar un sistema de referencia a un haz de luz o a un fotón en el vacío, es un error conceptual. 

Algunas otras importantes conclusiones podemos obtener de un primer análisis.

  • Las Transformaciones de Lorentz convergen a las de Galileo si V << c.
    Esto resulta importante pues nos permite asegurar que la mecánica clásica es valedera para velocidades bajas respecto de la de la luz.
    Cuando V es mucho menor que c el tiempo resulta absoluto (t'=t).
    La experiencia posterior a la Teoría de Relatividad nos ha mostrado que todas las leyes relativistas convergen a las leyes clásicas correspondientes cuando las velocidades involucradas son mucho menor que c, lo que se tradujo en el Principio de Correspondencia.
    El Principio de Correspondencia establece como condición necesaria de validez que todas las leyes relativistas tiendan a las clásicas cuando V/c tiende a cero, proveyendo una importante herramienta operativa para el desarrollo de leyes relativistas en cualquier línea de trabajo.
  • Tiempo y espacio están vinculados.
    Como veremos luego en forma más detallada, esta relación funcional permitirá mostrar que la evolución temporal es diferente entre sistemas inerciales en movimiento relativo. Este hecho genera uno de los cambios conceptuales necesarios más importante, que trataré de explicar con un experimento pensado.
    Supongamos tener un péndulo oscilando con pequeñas amplitudes. El sistema cuelga de un clavo en reposo respecto a nuestro sistema. El movimiento resulta periódico y su período T medido es constante, dependiendo de la longitud del hilo (l) y de la aceleración de la gravedad (g). Su expresión matemática es:

                                                10n                                                                                         

    Ahora imaginemos otro péndulo oscilando, de igual longitud de hilo, que pasa frente a nosotros con velocidad V constante. Midiendo adecuadamente el (pseudo) período del péndulo en movimiento encontramos, como demostraremos más adelante, que oscila más lentamente que el nuestro. 
    Medir adecuadamente significa tener en cuenta que la posición inicial y la final de una oscilación del péndulo móvil son distintas para nosotros y que, cualquiera sea la técnica de medición usada, corregiremos efectos aparentes, tales como retrasos debido a la velocidad de la luz, paralaje, etc.
    Más aún, dado que la longitud de los péndulos es la misma (y'=y) debemos asumir que la aceleración de la gravedad es diferente en los sistemas en movimiento relativo.

Antes de la Teoría de Relatividad Especial medir implicaba tener un instrumento de medición y un objeto. Ahora medir involucra también al observador.

Todo parece indicar que "casi" todas las magnitudes físicas (sus valores) son relativas al sistema de referencia, como resultado de que los sistemas en movimiento relativo tienen métricas espacio temporales distintas.
Las magnitudes que tienen carácter absoluto, además de la velocidad de la luz en el vacío, son pocas y se especula que juegan un papel fundamental en la estructura de nuestro universo. Para hallar estas magnitudes supuestamente "claves", es necesario disponer de modelos teóricos relativistas de los distintos tipos de interacciones. En particular, las ecuaciones de Maxwell cumplen este requisito, lo que permitió deducir que la carga es un invariante. Un electrón tendrá el mismo valor de carga eléctrica en cualquier sistema de referencia inercial.

Como veremos más adelante en detalle, ésta creencia más la formulación de la Teoría de Relatividad en un espacio de cuatro dimensiones (Minkowski), influyó en muchos especialistas generando una diferencia de criterios importante respecto de la masa, aún no resuelta.

En el ítem siguiente veremos otro caso de invariancia como consecuencia de las Transformaciones de Lorentz, que conforma una propiedad fundamental de la métrica de los sistemas inerciales.

Invariancia del Intervalo

Se define suceso al conjunto (x, y, z, t) que determinan el punto en el espacio y el instante en que ocurre. Los sucesos pertenecen a un espacio (matemático) tetradimensional donde cada punto, llamado punto del universo, representa un suceso. El movimiento de una partícula puntual en este espacio será una curva denominada curva de universo.

Tomemos ahora dos sucesos (x1, y1, z1, t1) y (x2, y2, z2, t2). El cuadrado de la distancia espacial entre los sucesos está dada por:

11n

Llamaremos Intervalo al valor S obtenido de la relación

12n

Con las Transformaciones de Lorentz podemos calcular sin dificultad el intervalo de estos dos sucesos medidos por dos observadores inerciales cualesquiera, resultando:

13n

 
Llegamos a una conclusión muy importante:
El intervalo entre sucesos es igual en todos los sistemas inerciales.
Queda planteado demostrar que dos sucesos pueden ser causales sólo si S es real.
Se propone también, a modo de ejercicio usando cálculo diferencial, que se demuestre con las Transformaciones de Lorentz que el intervalo elemental ds2=c2dt2–(dx2+dy2+dz2) es un invariante.


Discusión

Las Transformaciones de Lorentz fueron desarrolladas en el año 1900 como un avance para establecer las leyes del electromagnetismo para sistemas inerciales en movimiento relativo. Lorentz mostró (parcialmente) que estas Transformaciones dejaban invariantes las ecuaciones de Maxwell, sin lograr una interpretación conceptual.

La propuesta de Lorentz mantenía implícitamente la validez de las Transformaciones de Galileo, la métrica espacial y la coordenada temporal eran absolutas en los sistemas inerciales, asumiendo que por alguna razón física, que relacionaba con las interacciones electromagnéticas, los objetos modificaban su tamaño y los relojes alteraban su marcha, provocando una "aparente" constancia de la velocidad de la luz.
Las propiedades del espacio y el tiempo no eran alteradas (espacio-tiempo absoluto).

Estas interpretaciones, tanto para el electromagnetismo como para la invariancia de la velocidad de la luz, tenía serias e irreconciliables inconsistencias generadas principalmente por su interpretación dentro de un marco espacio temporal absoluto (teoría del éter).

La deducción elaborada por Einstein se apoyaba en resultados experimentales (Postulados) y no requería conjeturas auxiliares, tales como sistema de referencia absoluto, arrastre del éter, deformación de objetos, o mal funcionamiento de relojes. Pero este premio no era gratis, había que cambiar el concepto establecido sobre el espacio y el tiempo.

Analizando las Transformaciones de Lorentz bajo la óptica de Einstein lo primero que hay que destacar es que las coordenadas (x, y, z, t) representan un punto del espacio y un instante, correspondientes a un sistema inercial O, y que las coordenadas (x', y', z', t') representan ese punto del espacio y ese instante, pero correspondientes a un sistema inercial O' que se mueve respecto del primero.

No son coordenadas particulares de un evento, ni la posición de un objeto o el instante inicial de un fenómeno. Son coordenadas que dan la métrica espacio-temporal del sistema correspondiente.
Es decir que las transformaciones relacionan las métricas del espacio y el tiempo entre dos sistemas inerciales.

La interpretación de las Transformaciones de Lorentz como relación entre las métricas espacio temporales de los sistemas inerciales debe ser considerada como uno de los avances más importantes del conocimiento universal.

La gran revolución conceptual la genera (principalmente) que t' no es igual a t, como era en el marco galileano, sino que está relacionada también con la posición.

Aclaremos un poco más este tema. Cuando decimos que el tiempo t es uniforme estamos indicando que la evolución temporal de los fenómenos causales es constante en el sistema O. Un dado proceso, como la caída de una piedra o el crecimiento celular, transcurre en el mismo lapso bajo idénticas condiciones, cualquiera sea el momento en que se inicie el proceso.
Además, al indicar que t es la coordenada temporal del sistema O hemos asumido arbitrariamente que el sistema está sincronizado, y en un instante cualquiera tenemos el mismo valor temporal en cualquier punto del espacio.

Lo mismo vale para el sistema O', con su coordenada t' uniforme y sincronizada. La gran novedad aparece cuando vinculamos ambas coordenadas (t', t) con las transformaciones de Lorentz. Solamente hay coincidencia en el origen en el instante inicial (t'=t=0) porque así lo establecimos en la deducción de dichas transformaciones, concluyendo que para que la velocidad de la luz sea invariante tenemos que aceptar que los sistemas inerciales en movimiento relativo tienen diferente evolución temporal y distinta métrica espacial, y que esas diferencias dependen de la velocidad relativa entre ellos.

La dependencia de la coordenada temporal de un sistema con el tiempo y la posición del otro sistema provoca pérdida de sincronización en el sistema móvil pues no da un mismo valor t' para puntos (x) diferentes. Es decir que el sincronismo, que requiere fijar el valor temporal simultáneamente en todo punto del espacio, es relativo al sistema.

Dicho más claramente, cada observador O y O' ve sincronizado su sistema, en el cual está en reposo, y sin sincronismo el sistema móvil.

Si ahora consideramos un fenómeno, como por ejemplo la caída de un cuerpo, habrá una posición inicial y una final para cada sistema de referencia, con trayectoria y duración distintas para dos observadores en movimiento relativo constante. Será necesario analizar en detalle las mediciones espaciales y temporales de los fenómenos físicos.

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